6.代数系统的一般概念
代数系统定义
二元运算
设 S 为集合，函数 \(f: S \times S \rightarrow S\) 称为 S 上的二元运算，简称二元运算。也称 S 对 f 封闭
设 S 为集合，函数 \(f: S \rightarrow S\) 称为 S 上的一元运算，简称一元运算。
代数系统
一个非空集合 A， 连通若干个定义在该集合上的运算 \(f_1,f_2,...f_n\) 所组成的系统，称之为一个代数系统，简称代数。记为：
Note
结合律
- \(x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z\)
分配律：
- \((x*y) \circ z = (x\circ z) * (y \circ z)\)
- \(z \circ (x * y) (z \circ x) * (z \circ y)\)
则称 \(\circ\) 对 \(*\) 运算满足分配律
吸收率
- \(x \circ (x * y) = x\)
- \(x * (x \circ y) = x\)
- \(A \land (A \lor B) = A\)
- \(A \lor (A \land B) = A\)
则称 \(\circ\) 和 * 运算满足 吸收率
消去律
- \(x \circ y = x \circ z\)，且 x 不是零元，则 \(y=z\)
- \(y \circ x = z \circ x\)，且 x 不是零元，则 \(y=z\)
则称 \(\circ\) 运算满足 消去律
一元二元运算的表示
- 算符： \(\circ,*,\) 等符号
表示一元或二元的运算的方法 * 公式 * 运算表
幺元（单位元）
\(e_l(er) \in S\) 使得任意 \(x\in S\) 有
\(e_l \circ x =x\) 或 \(x \circ e_r =x\)
则称 \(e_l\)(\(e_r\)) 为 S 中关于 \(\circ\) 运算的 左（右） 单位元
零元
- \({\theta}_l \circ x = {\theta}_l\) 左零元
- \(x \circ {\theta}_r = {\theta}_r\) 右零元
可逆元素和其逆元
令 e 为 S 中关于运算 \(\circ\) 的单位元。 对于 \(x \in S\)
- \(y_l \circ x = e\) 左逆元
- \(x \circ y_r = e\) 右逆元
如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的
几个常见的集合的总结
半群
设 \(V=<S,\circ>\) 是代数系统，\(\circ\) 为二元运算， 如果 \(\circ\) 运算是
- 封闭的
- 可结合的
则称 V 为半群
半群元素的幂运算
- \(x^1 = x\)
- \(x^{n+1} = x^n \circ n, n \in Z^+\)
交换半群、独异点(Monoid)
- 若 \(\circ\) 运算是可交换的，则称 V 为交换半群
- 若 \(e \in S\) 是关于 \(\circ\) 运算的 单位元，则称 V 是 含幺半群，也叫做独异点，记作 \(V = <S,\circ, e>\)
群
设 \(<G,\circ>\) 是代数系统，\(\circ\)是二元运算，
- 如果 \(\circ\) 运算是可结合的，
- 存在单位元 \(e\in G\)
- 并且对 G 中的任何元素 x 都有 \(x^{-1} \in G\) (每个元素都有逆元) 则称 G 为群
Note
- 封闭性 (代数系统)
- 结合律
- 有幺元
- 每个元素都有逆元
群的实例
- \(<Z,+>,<Q,+>,<R,+>\) 是群； \(<Z^+,+>,<N,+>\) 不是群
- \(<M_n(R),+>\) 是群；\(<M_n(R),\cdot>\)
- \(<P(B),\oplus>\)是群，\(\oplus\) 是对称差运算
- \(<Z_n,\oplus>是群\)； Zn = {0,1,...,n-1}，\(\oplus\) 是模n加
Note
- 若群的二元运算是可交换的，则称为交换群或阿贝尔群
- 群的阶就是群的基数，即群中元素的数量。有限群的阶记作 \(|G|\)
群元素的幂
设 G 为群，\(x\in G, n\in Z\)，则x的n次幂 \(x^n\)定义为
k阶元
使得等式\(x^k = e\)成立的最小正整数 k 称之为 x 的 阶或周期,记作 \(|x| = k\), 称 x 为 k阶元。
若不存在k，则称 x 为 无限阶元。
性质
消去律
- ab = ac, 则 b = c
- ba = ca, 则 b = c
子群
H 是 G 的非空子集，若 H 关于 G 的运算也构成群则称 H 是 G 的子群，记作 \(H \le G\)
若 H 是G的子群且 \(H \sub G\)，则称之为真子群，记作 \(H \lt G\)
- 任何群 G 都存在 子群
- G 和 {e} 都是 G 的子群，被称作 平凡子群
子群判断定理1
- \(\forall a,b \in H, 有 a*b \in H\)
- \(\forall a \in H, 有 a^{-1} in H\)
子群判断定理2
- \(\forall a,b \in H, 有 a*b^{-1} \in H\)
子群判断定理3
设 \(<G,*>\) 为群，H 是 G 的 有穷非空自己，\(H\le G\) 当且仅当
\(\forall a,b \in H 有 a*b \in H\)
生成子群
设 G 为群，\(a \in G\), 令 \(H=\{a^k|k \in Z\}\)，则 H 是 G的子群，称由 a 生成的子群，记作 \(<a>\)
关于
如果 k 为负数，则运算的是 a 的逆元
H是由 a 的所有 幂 构成的集合
实例
对于整数加群 \(<Z,+>\)
由 2 生成的子群是 \(<2> = {2k| k \in Z} = {…,−4,−2,0,2,4,…}\)
对于 模6加群 \(<Z_6,\oplus>\)
由 2 生成的子群 \(<2> = {0,2,4}\)
群的中心
设 G 为群，令 \(C=\{a| a \in G \land 对 \forall x \in G 有 ax=xa \}\), 则称 C 是 G 的子群，称为 G 的中心，记作 CentG
- 对于可交换群/阿贝尔群，CentG = G
- 其他非交换群, CentG = {e}
循环群
设 G 是群，若存在 \(a \in G\) 使得 \(G = \{ a^k | k \in Z\}\)，则称 G 是循环群，记作 \(G = <a>\), 称 a 是 G 的生成元
实例
- 整数加群 \(G = <Z,+> = <1> = <-1>\)
- 模 6 加群 \(G = <Z_6,\oplus> = <1> = <5>\)
环
设代数系统 \(<R,+,*>\) 是代数系统，+，* 是二元运算。若满足以下条件
- \(<R,+>\) 构成交换群
- \(<R,*>\) 构成半群
*运算 关于+适合分配律
则称 \(<R,+,*>\) 是一个环
TODO： 域